🎉 یافتن دو عدد صحیح با حاصلضرب 28 و کمترین مجموع 🎉

✨ این مسئله یک چالش جذاب در دنیای ریاضیات است که به ما کمک می‌کند تا مفاهیم حاصلضرب، جمع و کمینه‌سازی را بهتر درک کنیم. بیایید با هم این مسئله را به روش‌های مختلف حل کنیم! 💡

📝 صورت مسئله

دو عدد صحیح پیدا کنید که حاصلضرب آنها برابر با 28 باشد و مجموع آنها کمترین مقدار ممکن را داشته باشد. 🤔

💡 روش اول: بررسی تمام مقسوم‌علیه‌های 28

اولین راه حل، بررسی تمام مقسوم‌علیه‌های عدد 28 است. مقسوم‌علیه‌ها اعدادی هستند که 28 بر آنها بخش‌پذیر است. 🔍

1 و 28: مجموع = 29
2 و 14: مجموع = 16
4 و 7: مجموع = 11
-1 و -28: مجموع = -29
-2 و -14: مجموع = -16
-4 و -7: مجموع = -11

با بررسی این مقسوم‌علیه‌ها، متوجه می‌شویم که کمترین مجموع برابر با -29 است که مربوط به اعداد -1 و -28 می‌باشد. 😮

✨ روش دوم: استفاده از مفهوم توابع و مشتق

برای حل این مسئله می‌توانیم از مفاهیم توابع و مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کنیم. 🤓

فرض کنید دو عدد صحیح مورد نظر را x و y بنامیم. با توجه به صورت مسئله، داریم:

x * y = 28

هدف ما کمینه‌سازی تابع زیر است:

f(x) = x + y

از معادله اول می‌توانیم y را بر حسب x بیان کنیم:

y = 28">x

حال تابع f(x) را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

f(x) = x + 28">x

برای یافتن کمینه تابع، مشتق آن را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

f'(x) = 1 - 28">x

² = 0

با حل این معادله، به دست می‌آوریم:

x

² = 28

بنابراین:

x = ± \sqrt{28} ≈ ±5.29

از آنجایی که x باید یک عدد صحیح باشد، مقادیر نزدیک به 5.29 و -5.29 را بررسی می‌کنیم: 4، 5، 6 و -4، -5، -6.

با جایگذاری این مقادیر در معادله y = 28/x، متوجه می‌شویم که نزدیک‌ترین اعداد صحیح به کمینه تابع، 4 و 7 یا -4 و -7 هستند. با توجه به اینکه هدف ما یافتن کمترین مجموع است، اعداد -4 و -7 را انتخاب می‌کنیم.

بنابراین، کمترین مجموع برابر با -11 است. 🎉

🌟 روش سوم: استفاده از نامساوی میانگین‌ها

نامساوی میانگین‌ها یک ابزار قدرتمند در ریاضیات است که می‌تواند به ما در حل این مسئله کمک کند. 💫

میانگین هندسی دو عدد x و y برابر است با x*y و میانگین حسابی آنها برابر است با (x+y)/2.

نامساوی میانگین‌ها بیان می‌کند که:

x + y">2 ≥ \sqrt{x * y}

با توجه به صورت مسئله، x*y = 28. بنابراین:

x + y">2 ≥ 28 ≈ 5.29

این نامساوی نشان می‌دهد که مجموع x+y حداقل برابر با 10.58 است. از آنجایی که x و y باید اعداد صحیح باشند، کمترین مقدار ممکن برای x+y برابر با 11 است (مثلاً x=4 و y=7). 🤩

برای یافتن مقادیر منفی، می‌توانیم از نامساوی مشابه استفاده کنیم:

x + y">2 ≤ - x * y

در این صورت، کمترین مجموع برابر با -11 است (مثلاً x=-4 و y=-7). 🥳

🤔 اصطلاحات کلیدی

مقسوم‌علیه: عددی که یک عدد دیگر بر آن بخش‌پذیر باشد.
حاصلضرب: نتیجه ضرب دو یا چند عدد در هم.
جمع: نتیجه افزودن دو یا چند عدد به هم.
کمینه‌سازی: یافتن کمترین مقدار ممکن برای یک تابع یا عبارت.
مشتق: نرخ تغییر یک تابع نسبت به متغیر آن.
نامساوی میانگین‌ها: رابطه‌ای بین میانگین هندسی و میانگین حسابی دو عدد.